33-ejų patyręs vartų sargas sostinės klube rungtyniavo 2010–2011 metais, o po to išvyko į Maskvos „Torpedo“ klubą ir vėl sugrįžo į „Žalgirį“, kuriam nuo 2015-ųjų sezono pradžios atstovavo iki šiol. Su Vilniaus ekipa S.Klevinskas susižėrė trūkstamus trofėjus Lietuvoje, du sykius tapdamas Lietuvos čempionu ir triumfuodamas Supertaurės mačuose.

Paskutinę akistatą Vilniaus klube marijampolietis sužaidė 70-mečio šventės metu – tada mače su Geteborgo IFK ekipa S.Klevinskas po pirmo kėlinio pakeitė Armantą Vitkauską ir padėjo komandai iškovoti įsimintiną pergalę. „Saulius mūsų komandoje praleido tikrai įsimintinus metus ir iškovojo daug titulų, prie kurių svariai prisidėjo. Visą laiką vertinsime Saulių kaip savo darbo profesionalą ir nuoširdžiai jam dėkojame už visą tą laiką, kurį praleido „Žalgiryje“, – su vartininku atsisveikino klubo sporto direktorius Mindaugas Nikoličius. Šio sezono A lygoje S.Klevinskas sužaidė 9-erias rungtynes, iš kurių 8-erias pradėjo starto sudėtyje. „Žalgiris“ dėkoja Sauliui už klube praleistą laiką ir linki sėkmės tolimesnėje karjeroje.