30-metis futbolininkas „Sūduvai“ atstovavo 2015-2018 metais, su komanda tapo Lietuvos čempionu ir Supertaurės laimėtoju. 2018-ųjų liepą puolėjas paliko ir Marijampolę ir nuo to laiko išbandė savo jėgas Kroatijos, Slovėnijos, Maltos, Kazachstano bei Rumunijos čempionatuose.

Atstovaudamas „Sūduvai“ K. Laukžemis per 84 rungtynes yra pelnęs 25 įvarčius ir atlikęs 10 rezultatyvių perdavimų. Sėkmingiausias puolėjui buvo 2017-ųjų sezonas, kai per 31 mačą pavyko pasižymėti 14 kartų ir atlikti 3 rezultatyvius perdavimus. Prieš išvykdamas į Kroatiją, 2018-aisiais futbolininkas per 11 rungtynių spėjo pasižymėti 6 įvarčiais ir 4 rezultatyviais perdavimais.

K. Laukžemis yra sužaidęs 29 rungtynes Lietuvos nacionalinėje rinktinėje, per jas pelnė 2 įvarčius.

„Sūduvoje“ puolėjas vilkės 92 numeriu pažymėtus marškinėlius ir pasirodyti aikštėje gali jau rugsėjo 6 dieną, kai marijampoliečiai „Hikvision“ arenoje priims Kauno rajono „Hegelmann“ ekipą.